EL PRICIPIO DE LA REFLEXIÓN.

Principio de reflexión

En teoría de conjuntos, una rama de las matemáticas, el principio de reflexión dice que es posible encontrar conjuntos que representen la clase de todos los conjuntos. Existen varias formas diferentes del principio de reflexión según se determine con exactitud el significado de «representar». La forma débil del principio de reflexión lo constituyen los axiomas de Zermelo-Fraenkel, mientras que formas más fuertes pueden resultar en axiomas nuevos y muy poderosos para la teoría de conjuntos.

El concepto de «principio de reflexión» proviene del hecho de que las propiedades del universo de todos los conjuntos se «reflejan» en un subgrupo más pequeño.

El principio de reflexión como teorema de ZFC.

Tratando de formalizar la argumentación de la sección anterior para el principio de reflexión dentro de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, se vuelve necesario agregar algunas condiciones a la colección de propiedades «A» (por ejemplo, «A» debe ser finita). De esta manera se generan varios teoremas de reflexión de ZFC fuertemente relacionados, todos los cuales establecen que podemos encontrar un conjunto que será al menos modelo de ZFC.

Una forma del principio de reflexión dentro de ZFC establece que «para cualquier conjunto finito de axiomas de ZFC podemos encontrar un modelo que implícitamente satisfaga tales axiomas». (en particular esto prueba que ZFC no es axiomatizable en forma finita, porque si se probara la existencia de un modelo de sí mismo y, por tanto, que demostrara su propia consistencia, tal posibilidad contravendría el segundo teorema incompleto de Gödel), esta versión de teorema de reflexión está muy relacionada con elteorema de Löwenheim-Skolem.

Otra versión del principio de reflexión dice que para cualquier número finito de fórmulas de ZFC podemos encontrar un conjunto V_α en el universo de von Neumann tal que todas las fórmulas en el conjunto constituyen un absoluto lógico para V_α (lo que significa muy burdamente que verifican en V_α si y solo si lo hacen en el universo de todos los conjuntos). Así se establece que el conjunto V_α refleja el universo de todos los conjuntos, al menos en lo que concierne al número finito de fórmulas dadas.

Para cualquier número natural n, puede probarse desde ZFC un principio de reflexión que dice que dado un ordinal α, existe un ordinal β>α tal que V_β satisface todas las instancias de primer orden de la teoría de conjuntos que son verdaderas para V, y contienen menos que n cuantificadores